Noyau reproduisant \(k:\mathcal X\times\mathcal X\to{\Bbb R}\)
Fonction telle qu'il existe un Espace de Hilbert
à noyau reproduisant tel que \(k\) soit le noyau de \(H\), i.e. $$\forall x,x^\prime\in\mathcal X,\quad k(x,x^\prime):=\langle{K\delta^H_x,K\delta^H_{x^\prime} }\rangle _H=\langle{\phi(x),\phi(x^\prime)}\rangle _H$$

• on dit que \(k\) est symétrique si \(k(x,x^\prime)=k(x^\prime,x)\)
• on dit que \(k\) est de type positif si \(\forall(\alpha_i)_{1\leqslant i\leqslant l}\in{\Bbb R}^l\), \(\forall(x_i)_{1\leqslant i\leqslant l}\in\mathcal X^l\), on a : $$\sum_{1\leqslant i,j\leqslant l}\alpha_i\alpha_j k(x_ix_j)\geqslant0$$
    
• (Théorème de Moore-Aronszajn) : reproduisant \(\iff\) symétrique et de type positif
        
• l'ensemble des noyaux reproduisants est stable par somme, multiplication par un scalaire et produit